Jesteś tutaj

Matematyka wojenna

Co? Twierdzenie?!

Nawet niektórzy fizycy (np. doświadczalni...) nigdy nie uwierzą, że tak abstrakcyjny twór matematyczny jak TWIERDZENIE może się do czegokolwiek w życiu przydać. A może! Ba, czasem być to może właśnie sprawa życia i śmierci!

Poisson

Poisson znaczy po francusku tyle, co ryba. Jest to jednak również nazwisko pewnego matematyka. Z racji swego pochodzenia, zamiast solidnej szynki czy innego smalcu, na śniadanie pędzlował zapewne rogaliki z czekoladą i niedobrą kawę (co innego, gdyby był Włochem, wtedy piłby dobrą). Natomiast proces Poissona nie ma nic wspólnego ani z kawą, ani z Kafką. Jest to pewien teoretyczny model procesu, w którym liczba zdarzeń, jakie pojawiają się w - dajmy na to - danym przedziale czasu albo jakimś kawałku przestrzeni, określona jest pewnym prawdopodobieństwem. Konkretnie: dane są rozkładem Poissona. Jeśli ktoś koniecznie chce zobaczyć wzorki to zapraszam tutaj. Intuicyjnie wystarczy wiedzieć, że coraz większe liczby zdarzeń są coraz mniej prawdopodobne.

Jaki proces, jaki rozkład... z byka spadłeś?

Noo tam, rozkład nie rozkład, ogólnie chodzi o to, że wydarzenia są bardzo losowe. Jakie wydarzenia na przykład? Na przykład ilość osób zabitych w danym roku w pruskiej kawalerii przez kopnięcie konia. Pewnie z ilością upadków z byka albo urwania się z choinki też by się zgadzało. Ale obiecywałem, że jakieś twierdzenie się może przydać, a póki co, to tylko liczymy ofiary końskiej czy byczej agresji, więc jak to w końcu jest?

Uwaga, leci twierdzenie!

Trzymając się naszego przykładu z końmi: jest takie twierdzenie, które mówi, że zabicie dwóch ludzi w jednym czasie przez dwa niezależne od siebie konie zachodzi z prawdopodobieństwem równym 0 (wnikliwych zapraszam do lektury np. Procesów Poissona Kingmana, rozdział III). Czyli raczej nie zachodzi. Podczas II wojny światowej ludność bombardowanej Warszawy świetnie znała to twierdzenie. Przenieśmy się z 1D do 2D, czyli z płynącego jednowymiarowo czasu do kawałka powierzchni ziemi, np. kawałka powierzchni ziemi bombardowanego przez Niemców. Stosując nasze twierdzenie wnioskujemy, że spadnięcie bomby z dwóch różnych samolotów w to samo miejsce zachodzi z prawdopodeobieństwem równym 0. Dlatego całkiem rozsądne jest chowanie się w lejach po bombach - co też czyniono.

Ale co to ma wspólnego z rzeczywistością?

Należy podkreślić jedną rzecz: zakładamy tutaj, że zarówno niezależne konie, jak i niezależne samoloty Luftwaffe są rzeczywiście niezależne, a ponadto przestrzegają rozkładu Poissona, czyli strzelają dość losowo. Dlaczego to założenie jest sensowne? Prawdopodobieństwo S sukcesów przy N próbach, gdzie każdy sukces może zajść z prawdopodobieństwem P opisane jest rozkładem Bernoulliego (np. dla rzutu monetą sukcesem może być wyrzucenie orła, wtedy P=1/2). Kiedy takich prób będzie baaardzo dużo (czyli nieskończenie wiele) a prawdopodobieństwo P baaardze małe (czyli prawie zero) z rozkładu Bernulliego dostajemy rozkład Poissona. A koń rzeczywiście wiele razy próbuje kopnąć, a rzadko mu się udaje kogoś zabić. Ale że w pruskiej kawalerii koni wiele, to w każdym roku kilku denatów się z tej okazji pojawiło.

Uwaga, leci wniosek!

Nie trzeba znać teorii procesów Poissona, aby wiedzieć, że warto wskoczyć do leja po bombie. Warto jednak znać procesy Poissona, aby sprawdzić, czy Niemcy umieją celować. I Brytyjczycy podobno tak właśnie zrobili: policzyli ile rakiet dalekiego zasięgu V1 trafia w dany kwadrat miasta i przekonali się, że odpowiada to rozkładowi Poissona. W ten pośredni sposób, bez wykorzystywania MI6 i agenta 007, przekonali się, że Niemcy, póki co, nie będą potrafili wycelować dokładnie np. w pałac Buckingham, tylko jakoś tak mniej więcej w Londyn. I tak to procesy Poissona niepotrzebnie pozbawiły pra-Jamesa Bonda miłej przygody z jakąś atrakcyjną agentką francuskiego ruchu oporu...

Tagi: 
matematyka
  • Obrazek użytkownika w.ganczarek
    O autorze:

    Wojtek Ganczarek

    Redaktor fiztaszków teoretycznych i kwantowych
    Fiztaszkowiec teoretyczny. Lubi się splątać: kwantowo lub w sieci złożonej. Jest specjalistą ds. gatunku videofiztaszkus. Jeśli akurat nie pisze fiztaszka, to pisze o podróżach: fizyk-w-podrozy.blogspot.com .

Komentarze

Obrazek użytkownika fizyk

Bardzo przepraszam, ale rozumowanie jest bledne!! Jezeli dwa zrzuty bomb sa niezalezne, to fakt, ze pierwsza bomba trafila w m-ce A, nie oznacza, ze trafienie drugiej bomby w A jest mniej prawdopodobne. To tak jak rzucanie kostka dwa razy pod rzad. Wyrzucenie 6-tki dwa razy jest malo prawdopodobne P = 1/36. Jak za pierwszym razem wyrzucimy 6, to za drugim razem prawdopodobienstwo wyrzucenia 6 bedzie dalej 1/6, a nie mniejsze. Z rozkladem Poissona nie ma to nic wspolnego.

Obrazek użytkownika w.ganczarek

To, że wyrzucenie 6-tki dwa razy jest mało prawdopodobne jest tu pewną analogią, ale nie pełną. Nie pełną, bo jeśli mówimy o procesach Poissona to okazuje się, że to prawdopodobieństwo jest nie tylko małe. Jest wręcz zerowe (co oczywiście nie oznacza, że zdarzenie jest niemożliwe: jest możliwe z prawdopodobieństwem zero). Poza tym, mówimy tu o dwóch "kostkach" i rzucie w jednym czasie.

Należy brać pod uwagę, że proces Poissona jest MODELEM. Stosujemy ten model do opisu rzeczywistości. Model bazuje na pojęciach matematycznych, wyidealizowanych, rzeczywistość zaś idealna nie jest (do tego chyba nie muszę przekonywać, szczególnie jak komuś z Was również nie odśnieżono drogi rowerowej z domu do pracy). Zrzucanie bomb na Londyn czy Warszawę NIE spełnia założeń procesu Poissona m.in. dlatego, że lej nie jest punktowy. Ale jest prawie punktowy. Więc można przybliżyć, że jest dokładnie punktowy i okazuje się, że to przybliżenie jest wcale niezłe. Wracając do Twojego pytania: tu istotnym przybliżeniem jest dyskretyzacja czasu. Mówiliśmy o dwóch procesach Poissona, np. dwóch samolotach, które zrzucają na raz bomby. Na raz? No nie do końca, w rzeczywistości zawsze będzie jakaś różnica między nimi. I w naszym przybliżeniu tę różnicę możemy traktować jako "krok" czasowy. Można powiedzieć, że to takie małe oszustwo, albo takie małe przybliżenie.

Autor komentarza jest, jak widzę, fizykiem, więc zastosuję tu porównanie typowo fizyczne: przybliżmy konia przez jednorodną kulę...

Obrazek użytkownika MCC

nie jestem fizykiem, ale z matematyką miałam co nieco do czynienia. I nie podoba mi się powyższa argumentacja z chowaniem się w leju po bombie. Bo jeśli upadki bomb są zdarzeniami niezależnymi, to wiedza o tym gdzie spadła pierwsza bomba nie daje _żadnej_ informacji ma temat tego, gdzie spadnie kolejna (jeśli A i B są niezależne, to P(A|B)=P(A)). Oczywiście prawdopodobieństwo trafienia _dokładnie_ w punkt poprzedniego trafienia jest zerowe (bo punkt ma miarę zero), ale dotyczy _każdego_ wybranego pojedynczego punktu (których to punktów jest nieprzeliczalnie wiele, więc prawdopodobieństwo, że bomba gdzieś upadnie nie jest już zerowe). Zatem równie dobrze można stać tam gdzie się stało, bo jeśli swoją pozycję uznać za punkt, to bomba z pewnością tam nie spadnie. A ponieważ ludzi jest skończenie wiele (a nawet uwzględniając wszystkich ludzi, którzy kiedykolwiek żyli lub dopiero się urodzą - co najwyżej przeliczalnie wiele), więc prawdopodobieństwo trafienia któregokolwiek człowieka bombą jest równe zero. A zatem nie ma sensu przejmować się wojną ;)
Niestety w życiu nie jest tak dobrze, bo zabójczy w skutkach jest już upadek bomby w pobliżu miejsca, w którym stoi człowiek. Czyli "z punktu widzenia bomby" nie należy liczyć pozycji człowieka jako punktu, ale jako pewnego koła o niezerowym (i często całkiem sporym) promieniu. Koło w odróżnieniu od punktu nie ma już miary zero wg. prawdopodobieństwa upadku bomby, czyli człowiek nie może czuć się całkiem bezpiecznie, niezależnie, czy leży w leju po bombie, czy gdziekolwiek indziej.

Obrazek użytkownika wojtk

ja bym jednak nalegał, żebyś jednak przeczytała mój komentarz nad Twoim

Obrazek użytkownika MCC

Czytałam ten komentarz. I właśnie dlatego napisałam, że mnie nie przekonał. Jeśli używając dwóch różnych metod dochodzi się do sprzecznych wyników, to albo któraś jest zła, albo - mówimy o zupełnie różnych rzeczach. Opis w tekście i w komentarzu jest mało precyzyjny, więc ta druga opcja jest całkiem możliwa. Dlatego prosiłabym o sprecyzowanie problemu.
Poza tym jeśli model w zbyt jaskrawy sposób nie przystaje do rzeczywistości, to jest to zły model.

Obrazek użytkownika w.ganczarek

Precyzyjnie samoloty powinny zrzucać bomby w tym samym momencie.
Przybliżenie: bo między spadnięciem dwóch bomb jest różnica czasu.
To wszystko.

Zdajemy sobie również sprawę z tego, że do lejów wskakiwało się z innych pobudek, niż teoria procesów Poissona: lej po bombie robił za swego rodzaju okop, zmniejszając ewentualne obrażenia przy uderzeniu bomby w innym miejscu. Sugestia, że myślano o procesach Poissona jest mniej lub bardziej głupim żartem uzasadniającym pisanie o procesach Poissona na tej stronie.

Obrazek użytkownika zaciekawiony

Ci którzy wskakiwali do kraterów często uzasadniali rzecz podobnie ale traktując to dosłownie - jeśli szansa trafienia bombą w jedno miejsce jest mała, to drugi raz w to samo jest prawdopodobne jeszcze mniej. W podobny sposób twierdzono, że dom raz spalony piorunem jest bezpieczny bo drugi raz jest niepodobieństwem. Więcej było w tym folkloru niż nauki, choć argumentację tą stosowali zwykle ci, którzy nieco z matematyki liznęli. Aby takie rozumowanie obalić, wystarczy przyjrzeć się kraterom na księżycu - prawdopodobieństwo trafienia małego meteoru w jakiś punkt na Księżycu jest małe, ale jednak znamy przykłady dwóch, trzech i więcej kraterów, nakładających się na siebie niemal idealnie.
W przypadku bombardowania jeśli faktycznie dwa samoloty zrzucałyby bomby w tym samym czasie, to prawdopodobieństwo trafienia dokładnie w ten sam punkt dwoma bombami jest zerowe nie tylko z powodu rozkładów matematycznych ale i z powodu niezerowych rozmiarów bomb - spadając w to samo miejsce zderzyłyby się w powietrzu lub upadłyby w dwa sąsiadujące miejsca, ale bez przeniknięcia się wzajemnie na pewno nie w jedno.
W praktyce wskakiwanie do leja ma uzasadnienie w tym, że zagłębienie chroni przez odłamkami pochodzącymi z wybuchów w okolicy, nieraz z dużej przestrzeni. Dodatkowo w nalotach dywanowych panowała zasada, że jeśli jeden samolot obrzucił jakiś pas terenu, to następny bombardował pas obok, ale nie ten sam, więc nawet przy małej celności zrzutów szansa dwukrotnego trafienia faktycznie była mniejsza. Chyba, że potem samoloty bombardowały w kratkę - to co amerykanie zrobili w Hamburgu było ludobójstwem.

Dodaj komentarz